1 31 NumPyとSciPyの使い方 プログラミング基礎同演習 慶應義塾大学理工学部物理情報工学科 渡辺

2 31 NumPyとSciPyの使い方

3 31 多次元配列を高速に扱うためのモジュール 配列指向 (Array Oriented Computing) 裏でLAPACKというライブラリを呼んでいる LAPACKはBLASというライブラリ上に構築されている BLAS

(Basic Linear Algebra Subprograms) LAPACK (Linear Algebra PACKage) NumPy (Numeric Python)

4 31 ベクトルや行列同士の演算ルーチンをまとめたもの これがないと数値計算ができない 新しいCPUでは、専用のBLASライブラリが必要(BLAS職人) Level 1 ベクトル同士の演算 = +

Level 2 ベクトルと行列の演算 = x = ・ Level 3 行列と行列の演算 = x Basic Linear Algebra Subprograms

5 31 Linear Algebra PACKage BLASをビルディングブロックとして線形代数の問題を解くパッケージ 連立一次方程式 最小二乗法 固有値問題 特異値問題

https://www.r-ccs.riken.jp/wp-content/uploads/2019/05/nakata190523.pdf 線形代数演算ライブラリBLAS とLAPACKの基礎と実践 (中田真秀) 𝐴𝑥 = 𝑏 min 𝑏 − 𝐴𝑥 𝐴𝑥 = 𝜆𝑥 𝑋 = 𝑈Σ𝑉† 今回の課題

6 31 もともとは線形代数の問題を解くパッケージ (現在はLAPACKが広く使われている) LINPACKは主にベンチマークとして使われている LINPACKベンチマーク ・巨大な連立一次方程式を解くベンチマーク ・Top500というスパコンのランキングに用いられる ・Top500は年に二回開催される LINPACK

7 31 地球シミュレータ 京コンピュータ 富岳 合計 1位 500位

8 31 線形代数はとても大事 NumPy/SciPyがあるからPythonを使うという人がいるくら い、線形代数、行列計算は数値計算においてとても重要 数値計算に限らず、理工系全ての分野に線形代数が現れる 線形代数は真面目に勉強しておきましょう

9 31 import numpy as np まずNumPyをインポート np.arrayにPythonのリストを渡すとNumPy配列になる data =

np.array([1,2,3]) data 1 2 3 A Visual Intro to NumPy and Data Representation (https://jalammar.github.io/visual-numpy/) np.array([[1,2],[3,4]]) data 1 2 3 4

10 31 A Visual Intro to NumPy and Data Representation

(https://jalammar.github.io/visual-numpy/) np.zeros(3) 0 0 0 0 0 0 0 np.zeros((2,2)) np.ones(3) 1 1 1 1 1 1 1 np.ones((2,2)) np.zerosで要素が全てゼロ、np.onesで要素が全て1の NumPy配列を作ることができる 「形」はタプルで指定

11 31 data = np.arange(8) 連番の一次元配列を作るにはnp.arangeを使う 0 1 2 3

4 5 6 7

12 31 NumPy配列は、メモリ上では一次元配列として格納 np.array([[1,2],[3,4]]) data 1 2 3 4 メモリ

1 2 3 4 data (2,2) NumPy配列の「形」は、shapeで得ることができる data.shape #=> (2,2)

13 31 a = np.arange(8) 0 1 2 3 4

5 6 7 b = a.reshape((2,4)) 0 1 2 3 4 5 6 7 c = a.reshape((2,2,2)) 4 5 6 7 0 1 2 3 2 4

14 31 同じ形(shape)のNumPy配列同士は四則演算ができる 0 1 2 1 1 1 +

= 1 2 3 0 1 2 3 ※ 演算は要素ごとになることに注意 0 1 2 3 x = 0 1 4 9

15 31 NumPy配列にスカラー量を演算できる 0 1 2 1 + = 1

2 3 0 1 2 1 + = 1 1 0 1 2 2 x = 0 2 4 0 1 2 2 x = 2 2

16 31 from scipy import linalg import numpy as np

まずはインポートする linalg.eighでエルミート行列の固有値、固有ベクトルを求める a = np.array([[1,2],[2,1]]) w, v = linalg.eigh(a) 1 2 2 1 a w 3 -1 行列 固有値 1 -1 v固有ベクトル (※) 1 1 ※実際には正規化されたベクトルが得られる

17 31 シュレーディンガー方程式の固有値問題 行列の低ランク近似による画像圧縮 𝐴𝑥 = 𝜆𝑥 𝑋 = 𝑈Σ𝑉†

18 31 目標 差分化により、シュレーディンガー方程式が行列の 固有値問題に帰着することを確認 • 固有値が基底状態のエネルギーとして得られる • 基底状態の波動関数が対応する固有ベクトルとし て得られる

19 31 𝑣 ℎ 山の高さを超えられない初速 古典系の場合 山を登りきれずに 100%跳ね返される 量子系の場合 ほとんど跳ね返されるが…

低確率ですり抜ける

20 31 電子をエネルギー障壁で閉じ込める (井戸型ポテンシャル) 電子の存在確率が 障壁の外に少しだけ染み出す −ℏ2 2𝑚 𝑑2 𝑑𝑥2

+ 𝑉 𝑥 𝜓 𝑥 = 𝐸𝜓(𝑥) 電子の存在確率は以下のシュレーディンガー方程式の解として求まる

21 31 −ℏ2 2𝑚 𝑑2 𝑑𝑥2 + 𝑉 𝑥 𝜓

𝑥 = 𝐸𝜓(𝑥) シュレーディンガー方程式 𝜓 𝑥 離散化 𝑣𝑖 連続的な関数 離散的なベクトル

22 31 𝑑2𝜓 𝑑𝑥2 ∼ 𝑣𝑖+1 −2𝑣𝑖 +𝑣𝑖−1 「微分」は「差分」で近似できる −ℏ2

2𝑚 𝑑2 𝑑𝑥2 + 𝑉 𝑥 𝜓 𝑥 = 𝐸𝜓(𝑥) 𝐻 Ԧ 𝑣 = 𝜆 Ԧ 𝑣 離散化 シュレーディンガー方程式 行列の固有値問題 固有値： 電子のエネルギー 固有ベクトル：電子の存在確率

23 31 電子の存在確率が 障壁の外に少し だけ染み出す E 0 -5 閉じ込め効果により 少しエネルギーが

高くなる 井戸型ポテンシャルに閉じ込められた電子が ・障壁の外に少し染み出すこと ・閉じ込めによりエネルギーが少し高くなること を確認する

24 31 目標 モノクロ画像は「行列」とみなすことができる 行列を特異値分解し、低ランク近似により近似行列 を作る

25 31 m行k列の行列と k行n列の行列の積はm行n列になる (3, 4) (4, 5) (3, 5)

X = (3, 4) (4, 5) (3, 5)

26 31 m行k列の行列と k行n列の行列の積はm行n列になる kを小さくとると、大きな行列を細い行列の積で近似できる ≒ x m n m

k k n 要素数mn 要素数mk 要素数kn k << m, n なら mn >> k(m+n)

27 31 𝑋 = 𝑈Σ𝑉† x x = 𝑋 𝑈

𝑉† Σ Σ 特異値(対角行列) Singular Value Decomposition, SVD 𝑈 𝑉† ユニタリ行列(正方行列)

28 31 x x = 𝑋 𝑈 𝑉† Σ 𝑈

Σ x Σ𝑉† = こことここだけ使って再構成 ෨ 𝑋 = x 𝑈 Σ Σ𝑉†

29 31 モノクロ画像は、行列とみなすことができる 25 68 59 12 高さh、幅wのモノクロ画像は各要素0から255のh行w列の行列

30 31 インターネットから 画像をダウンロード 画像をモノクロ化 行列とみなして低ランク近似 近似された画像 ෨ 𝑋 =

x 𝑈 Σ Σ𝑉†

31 31 インターネットから 画像をダウンロード 画像をモノクロ化 行列とみなして低ランク近似 近似された画像 ෨ 𝑋 =

x 𝑈 Σ Σ𝑉†